科目名称及代码 高等代数(818)

所在学院(部) 数学与计算科学学院

学位授权点 数学(0701)

一、基本要求

《高等代数》是五邑大学数学与计算科学学院招收数学一级学科学术型类别 硕士学位硕士研究生自命题考试科目。

《高等代数》是数学专业的一门重要基础课程。要求考生比较系统地理解高 等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有 抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决 问题的能力。

通过考核本科目，为培养学生良好的数学素养，打下较扎实的代数学理论基 础，提高学生的抽象思维的能力和逻辑推理能力，并掌握较系统的代数基础知识， 为学习后续研究生课程服务。

二、内容范围

本科目考核的内容范围有如下 8 个方面：

1. 多项式：数域、一元多项式的定义和运算、多项式的整除性、多项式的 最大公因式、多项式的分解、重因式、多项式函数和多项式的根、复系数和实系 数多项式的因式分解、有理系数多项式。

考试要求: 能运用多项式的概念与基本性质、多项式的整除性、最大公因式 和分解、有理系数多项式等理论知识求解和证明有关问题。

2. 行列式：线性方程组和行列式、排列、n 阶行列式、n 阶行列式的性质、 行列式的计算、余子式和代数余子式、行列式的展开、克拉默法则。

考试要求: 能运用行列式性质、展开定理和克拉默法则计算和证明有关问题。

3.线性方程组：消元法、向量空间、线性相关性、矩阵的秩、线性方程组 可解的判别法、线性方程组解的结构。

考试要求: 能运用消元法、矩阵的秩、线性方程组可解的判别法求解和证明 有关问题

4. 矩阵：矩阵概念的一些背景、矩阵的运算、矩阵乘积的行列式与秩、矩 阵的逆、矩阵的分块、初等矩阵、分块乘法的初等变换及应用。

考试要求: 能运用矩阵的运算、可逆矩阵、矩阵乘积的行列式、矩阵的分块 计算和证明有关问题。

5. 二次型：二次型及其矩阵表示、标准形、唯一性、正定二次型。掌握和 理解二次型及其矩阵表示、标准形、唯一性、正定二次型。

考试要求: 能运用二次型和对称矩阵、复数域和实数域上的二次型、正定二 次型求解和证明有关问题。

6.线性空间：集合映射、线性空间的定义与简单性质、维数、基与坐标、 基变换与坐标变换、线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的 同构。

考试要求: 能运用线性空间的定义、子空间、向量的线性相关性、基和维数、 坐标、向量空间的同构、矩阵的秩、齐次线性方程组的解空间求解和证明计有关 问题。

7. 线性变换：线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵、特征 值与特征向量、对角矩阵、线性变换的值域与核、不变子空间。

考试要求: 能运用线性映射、线性变换的运算、线性变换和矩阵、不变子空 间、特征值和特征向量、可以对角化的矩阵求解和证明有关问题

8.欧几里得空间：定义与基本性质、标准正交基、同构、正交变换、子空 间、实对称矩阵的标准形、向量到子空间的距离、最小二乘法、酉空间介绍。掌 握和理解欧氏空间的定义与基本性质、标准正交基、正交变换、实对称矩阵的标 准形、向量到子空间的距离、最小二乘法。

考试要求: 能运用向量的内积、正交基、正交变换、对称变换和对称矩阵求 解和证明有关问题。

三、题型结构

试卷满分共 150 分，主要题型结构如下：

1.计算题(约占 60%)

题目样例：已知对称矩阵 A, 求一个正交矩阵U, 使得UTAU 是对角形矩阵.

2.证明题(约占 40%)

题目样例：设 A 是线性空间V 上的线性变换，如果 Ak 一1ξ ≠ 0 ，但是 Akξ = 0 ，其中

ξ ∈ V, k > 0 ，证明： ξ, Aξ, … , Ak 一1ξ线性无关.

四、相关书目

[1] 王萼芳，石生明. 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，《高等代 数》(第五版)，北京: 高等教育出版社, 2019.

[2] 丘维声.《高等代数(上册)》. 北京: 清华大学出版社, 2019.

[3] 丘维声.《高等代数(下册)》. 北京: 清华大学出版社, 2019.

五、其他说明

本科目考试形式为闭卷，时间 180 分钟，不需要计算器。