泛函分析 考试大纲
(科目代码：781)
第一章 度量空间与线性赋范空间
考试要点：
度量空间的概念，例子;度量空间中的收敛性与连续性;稠密性;可分性;Cauchy列与度量空间的完备性;压缩映像原理及其应用;线性赋范空间的概念，例子;Banach空间的概念。
考试内容：
第一节 度量空间的概念与例子
距离及度量空间的定义;例子(欧氏空间...等)。
第二节 度量空间中的极限 稠密性 可分空间
领域的概念;收敛点列;有界集;具体空间中收敛性的意义;稠密性与可分空间的概念;不可分空间的例子。
第三节 连续映射
映射连续性的各种定义及其等价性。
第四节 Cauchy点列与完备度量空间
度量空间中Cauchy点列的概念;完备度量空间的定义;完备度量空间与不完备度量空间的各类例子;度量空间闭子空间的完备性。
第五节 度量空间的完备化
等距同构;度量空间的完备化定理;
第六节 压缩映像原理及其应用
压缩映像的定义;压缩映像原理;在隐函数定理及常微分方程中的应用。
第七节 线性空间
本节内容为线性空间的基本概念。因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关内容，故只需简要回顾并强调无限维线性空间的特征即可。
第八节 线性赋范空间和Banach空间
范数，线性赋范空间和Banach空间的概念;依范数收敛...空间;有限维赋范空间的拓扑同构性。
考核要求：
掌握度量空间，线性赋范空间和Banach空间的概念和性质;掌握映射连续性，度量空间的完备性等概念;熟悉...空间;透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。
第二章 线性有界算子和线性连续泛函
考试要点：
线性有界算子，线性连续泛函，线性算子空间，共轭空间。
考试内容：
第一节 线性有界算子与线性连续泛函
线性有界算子与线性连续泛函的概念，例子，有界与连续的等价性，线性有界算子零空间的性质，算子范数。
第二节 线性算子空间和共轭空间
线性算子空间的结构及其完备性，共轭空间，保距算子，同构映照，同构，一些具体空间的共轭空间。
考核要求：
掌握线性有界算子，线性连续泛函，有界性，连续性，算子范数，共轭空间，保距算子，同构映照，同构等基本概念;掌握有界与连续的等价性定理，基本定理;能够计算简单的算子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。
第三章 内积空间和Hilbert空间
考试要点：
内积空间，投影定理，Hilbert空间，就范直交系，Hilbert空间上线性连续泛函的表示。
考试内容：
第一节 内积空间的基本概念
内积空间与Hilbert空间的定义，平行四边形公式，内积空间的判定。
第二节 投影定理
点到集合的距离，凸集，极小化向量定理，集合的正交，Hilbert空间的正交分解，投影算子及其性质。
第三节 Hilbert空间中的就范直交系
就范直交系，Fourier系数集，Bessel不等式，Parseval恒等式，完全就范直交系的定义与判定, Fourier展式，Gram-Schmidt正交化过程，Hilbert空间的同构。
第四节 Hilbert空间上的线性连续泛函
Riesz表示定理，共轭算子及其性质。
第五节 自伴算子、 酉算子和正常算子
自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念与简单性质。
考核要求：
掌握内积空间，Hilbert空间，平行四边形公式，就范直交系，Bessel不等式，Parseval恒等式，Fourier展式，投影算子，共轭算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念;掌握极小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理, Riesz表示定理等基本定理的内容与证明;能独立解答基本的习题。
第四章 Banach空间中的基本定理
考试要点：
Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，线性赋范空间中的共轭算子，
第一节 泛函延拓定理
次线性泛函，Hahn-Banach泛函延拓定理的实形式、复形式及其推论。
第二节
...的共轭空间、Riesz表示定理
第三节 共轭算子
第四节 线性赋范空间中共轭算子的定义及性质。
第五节 纲定理和一致有界性定理
第一纲集，第二纲集，Baire纲定理, 一致有界性定理强收敛、弱收敛和一致收敛
强收敛、弱收敛、弱*收敛和一致收敛的定义，例子，相互关系，强收敛的充要条件。
第六节 逆算子定理
逆算子定理及其证明。
第七节 闭图象定理
线性算子的图象，闭算子，闭图象定理。
考核要求：
掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理;由于Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，Baire纲定理，逆算子定理，闭图象定理是泛函分析基础理论的主要构成部分，要求熟练掌握这些内容;能独立解答基本的习题。
第五章 线性算子的谱
考试要点：
简要介绍线性算子的谱的概念，基本性质。
谱的概念
正则算子，正则点，正则集，谱点，特征值，特征向量，点谱，连续谱，例子。
第一节 线性有界算子谱的基本性质
谱集的闭性。
考核要求：
了解线性算子的谱的概念，基本性质。
三、参考书目
1、 程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社， 1983， 第一版。
2、 王声望， 郑维行，《实变函数与泛函分析概要》，第二册，高等教育出版社，1992，第二版。
3、 夏道行等，《实变函数论与泛函分析》，下册，高等教育出版社， 1985，第二版。
原标题：西北师范大学2024年硕士研究生招生考试自命题科目参考大纲
文章来源：https://yjsy.nwnu.edu.cn/_t334/2023/0725/c2701a214730/page.htm
