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中国地质大学数理学院2023年硕士研究生入学复试《复变函数》考试大纲

时间:2022-07-29     作者:考研资源网  所属栏目: 考研大纲

中国地质大学研究生院

2010年研究生入学复试《复变函数》考试大纲

(数学学科同等学力入学复试加试科目 )

(一) 复数与复变函数

1、熟悉复数、复变函数的概念、极限、连续。

2、理解掌握复数的计算,复变函数的极限、连续运算。

3、简单应用复数的指数形式运算和几何意义。

(二)解析函数

1、熟悉解析函数的定义,初等解析函数及其性质。

2、理解掌握解析函数的定义,柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程及用它判别解析函方法。

3、 简单应用初等多值函数分出单叶解析分支,并在单叶性区域内由初值确定终值。

4、能进行具有多个有限支点的多值函数分出单叶解析分支的方法,并在单叶性区域内由初值确定终值。

(三)复变函数的积分

1、熟悉复积分的定义及性质。

2、理解掌握柯西(Cauchy)积分定理及其推广,柯西积分公式及其推论。

3、简单运用柯西积分定理和柯西积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分,已知解析函数的实部(或虚部),求该解析函数。

4、能进行柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理的证明,利用摩勒拉(Morera)定理判断解析函数。

(四)解析函数的幂级数表示法

1、熟悉复级数的基本性质。

2、理解掌握幂级数的敛散性及其收敛半径、收敛圆的确定方法,泰勒定理,幂级数和的解析性。

3、简单应用解析函数的幂级数表示,一些初等函数的泰勒(Taylor)展式,幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性。

4、能进行解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理的证明。

(五)解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点

1、熟悉双边幂级数,孤立奇点的类型,整函数与亚纯函数的概念。

2、理解掌握双边幂级数的敛散性,洛朗定理。

3、简单应用将解析函数在孤立奇点邻域内展成洛朗级数,收敛圆环的确定,判断孤立奇点类型。

4、能判断在无穷远点的孤立奇点类型。

(六)留数理论及其应用

1、熟悉留数,对数留数。

2、理解掌握留数定理,辐角原理,儒歇(Rouch)定理。

3、能利用柯西留数定理计算函数沿闭曲线的积分,用留数定理计算实积分。

4、能进行考察区域内解析函数零点分布状况,辐角原理、儒歇定理的证明。

(七)保形变换

1、熟悉保形变换的特性。

2、理解掌握分式线性变换的特性。

3、能进行某些初等函数所构成的保形变换。

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